Get Adobe Flash player

Pentominolar


Pek çok kişi gibi ben de pentominoları Martin Gardner’in Scientific American dergisindeki köşesinden öğrendim. Açıkça belirteyim ki, onlara hemen hayran kaldım. Eve döner dönmez ilk işim kendime kartondan bir pentomino takımı yapıp onun verdiği bulmacaları çözmeye koyulmak olmuştu. Daha sonra da bu konuda elime ne geçerse okumaya, biriktirmeye çalıştım. Ayrıca kendim de pentomino bulmaca ve oyunları düşündüm ve çözdüm.

Daha bir mimarlık öğrencisiyken bile pentomino bulmacalarını çözmenin tasarım sorunlarına ne kadar benzediğini düşünmüştüm. Mimarlar da kimi zaman verilmiş bir alanın planını çeşitli işlevlere göre farklı farklı biçimlenmiş hacimlere göre düzenlerken tıpkı bir pentomino bulmacası çözer gibi deneye yanıla en uygun yerleşmeyi bulmaya çalışırlar. Ya da bunun tersini yapar, yani farklı işlevlere göre biçimlenmiş yüzeyleri yanyana getirerek anlamlı bir biçimsel bütünlük elde etmeye çalışırlar, küçük parçalarla daha büyük bir bütün kurarlar. Ne denli serbest biçimler yaratırlarsa yaratsınlar, iyi örneklerin hepsinin açık seçik bir geometrisi olur. Ayrıca mimarlık çoğu kez bakışık (simetrik) düzenlemelerden de yararlanır. Mimarlıkta olduğu gibi pentominolarda da sınırlı sayıdaki öğelerle neredeyse sınırsız çeşitlilik gösteren biçimler kurma olanağı var. Bunlar kentsel düzenlemeler için de geçerli.

Bu nedenle pentominoları hep mimarlara seslenebilecek bir bulmaca, bir oyun olarak gördüm. Bu düşüncem bugün de değişmedi, hatta onların mimarlık eğitiminde çok yararlı bir araç olabileceğini düşünüyorum. J. P. Steadman yapı planlarının geometrisini konu alan bir çalışmasında çoklu kare ve küplerin çözümleyici tasarım aracı olarak kullanılmasının örneklerini anlatıyor. (J. P. Steadman, Architectural Morphology, London, 1983)  Ben de ders notu biçiminde hazırladığım “Mimarlığa ilişkin kuramsal gözlemler” başlıklı kitabımda pentomino ve türevlerinden söz etmiştim. (Üstün Alsaç, Theoretical Observations on Architecture, Gazimağusa, 1997)

Pentominolar nedir?

Pentominolar ABD’li matematikçi Solomon W. Golomb tarafından bulunmuş. Golomb 1950’li yıllarda daha öğrenciyken eşkenar üçgen, kare ya da altıgen gibi düzgün geometrik şekillerin yan yana bitiştirilme sorunlarıyla ilgilenmeye başlamış, daha sonra da “Polyforms” (çoklu biçimler) adıyla bilinen bu şekilleri inceleyen geometri dalının öncülerinden biri olmuş. Böyle oluşturulan parçalarla verilen bir yüzeyin boşluk bırakmadan örtülebileceğini görünce de onların bulmaca gibi kullanılabileceğini düşünmüş.

Golomb karelerle işe başlamış. İki karenin yalnız bir birleşme şekli olacağı açık. Üç kare ise ya düz ya da bir dik açı oluşturacak biçimde birleşebiliyor. Dört karenin birleşmesi 5 farklı şekil ortaya çıkarıyor. Kullanılan kare sayısı çoğaldıkça onlarla oluşturulabilecek şekillerin sayısı da artıyor. Bunları adlandırmak istediği zaman Golomb’un aklına “domino” taşları gelmiş. Bilindiği gibi bunlar iki karenin yan yana gelmesiyle oluşuyorlar. Üç kareyle yapılan şekillere “tromino”, dört kareyle yapılanları “tetromino”, diye adlandırmış. (Ünlü “Tetris” oyunu tetrominolara dayanıyor.) Çok sayıda kare kullanılarak yapılan şekillere de genel olarak “Polyomino” adını vermiş, bu başlık altında bir de kitap yazmış. (Solomon W. Golomb, Polyominoes, Princeton, New Jersey, 1994 (1965)) Tek kare de buna göre “monomino” olarak adlandırılıyor.

Golomb’un bulduğu geometrik şekillerin en ünlüsü “Pentominolar”. Beş karenin kenar kenara birleşmesi 12 farklı şeklin ortaya çıkmasına yol açıyor. Akılda kolay kalması için abecenin harfleriyle anılan bu şekillerle bulmacalar kurmak ve bunlar için çözümler bulmak olası. En bilinenleri farklı büyüklükteki dikdörtgenlerin içini doldurmak. Bir pentomino takımı beşer karelik 12 taştan oluştuğuna göre toplam 60 karelik bir alana sahip. Acaba bu taşlarla boşluk bırakmandan ve onları üst üste bindirmeden hangi düzgün şekillerin içi doldurulabilir, diye düşünmüş.

Pentomino taşlarının şekilleri çok katıymış izlenimi veriyorsa da bunların oldukça esnek bir biçimde bir araya gelebilme gibi bir özelliği var. Bu nedenle 6×10, 5×12, 4×15 ve 3×20’lik dikdörtgenlerin içine kolayca yerleştirilebiliyorlar. Onların içini doldurabildiği en yakın kare yüzey ise 8×8’lik bir kare. Geriye kalan 4 kare bu alanın içinde her hangi bir yerde olabiliyor, ortada, köşelerde, bakışık, bitişik ya da düzensiz ve ayrı ayrı, fark etmiyor.

Ortaya çıktığı günden bu yana çok çeşitli pentomino sorun ve bulmacaları ortaya atılmış ya da hazırlanmış, aralarında figüratif ya da serbest olanlar da olmak üzere onlarla neredeyse sayısız denecek kadar çok şekil kurma olanağı var, bunların bir bölümü de bakışık (simetrik) olabiliyor. Ayrıca onları yalnız ya da öteki polyominolarla birlikte kullanan çok sayıda oyun ve bulmaca da hazırlanmış.

Burada bir ayraç açarak kullandığım adlara değinmek istiyorum. Polyform ya da polyomino, pentomino gibi sözcüklerin Türkçeleri var mı, bilmiyorum. Onlara matematiksel konuları eğlenceli, yaratıcı yanlarıyla ele alan kitaplarda hiç raslamadım. Oralarda daha çok parçalanmış dama tahtası gibi ad altında geçiyorlar. Ben bir çocuk dergisi için hazırladığım matematiksel oyunlar köşesinde yer alan bir yazımda pentominolardan “beşkareler” diye söz etmiştim. (Üstün Alsaç, “Can Sıkıcı Bir Gün ve Beşkareler”, Doğan Kardeş, sayı 55, s. 44-49, 1993) İnternet’de onları konu alan pek çok site ve sayfa bulunuyor. Bu tür kaynaklara ulaşmak isteyenleri düşünerek daha yaygın olan İngilizce adlarını kullanıyorum.

Pentominolar pek çok yönüyle araştırmacıların ilgisini çekmiş ve çekiyor, özellikle matematikçiler bu konuların üstünde çok çalışıyorlar. Ben de özellikle bu konuya yeni başlayanların ilgi duyacağını düşünerek web sayfama kendi düzenlediğim pentomino şekillerini koyuyorum. Bir kareli kağıt üzerinde siz de denemeye başlayabilirsiniz. Daha da iyisi, kartondan bir pentomino takımı yapın ve onlarla şekiller kurun, biçimler yaratın, bulmacalar düzenleyin. Doğal olarak birden çok takım kullanarak çeşitlemelerin sayısını daha da çoğaltmak olası.

Pentomino oyunları

Golomb pentominolarla iki kişinin oynayabileceği stratejik oyunlar da kurulabileceğini düşünmüş. Bunlardan biri kareleri pentomino taşlarının birim karelerinin büyüklüğüne uyacak (ve siyah beyaz olması gerekmeyen) 8×8’lik bir dama ya da satranç tahtası üstünde oynanıyor. Oyuncular sırayla ortada duran pentomino taşlarını birer birer bu tahtanın üstüne yerleştiriyorlar. Kim son taşı koyarsa oyunu kazanıyor, başka bir deyişle, kim tahtaya bir taş koyamazsa oyunu yitiriyor.

Bu oyunun bir çeşitlemesi de gene benzer biçimde oynanıyor, yalnız oyuncular daha önceden ortada duran taşları karşılıklı olarak sırayla birer birer alarak paylaşıyorlar ve yalnızca kendi taşlarını tahtanın üstüne yerleştiriyorlar. Oyun gene ilk oyundaki gibi son taşı koyanın kazanmasıyla sonuçlanıyor.

Her iki çeşitlemenin de kendine göre değişik stratejileri var. Bunlar da taşları tahtaya karşı taraftaki oyuncunun taşlarını koymasını zorlaştıracak bir biçimde yerleştirmeye dayanıyor. Eğer siz de denerseniz bu oyunları seveceğinizi düşünüyorum. Özellikle çocuklar ve gençler bu oyunlarda çok başarılı oluyorlar. Çocukken bu oyunları benden öğrenen kardeşim Engin onları çok severek oynardı, çoğu kez beni yendiği için de büyük keyif alırdı. Daha sonra da onlarla uğraştığını biliyorum.

Ben bu oyunların iki pentomino takımı ve 11×11 karelik bir tahta kullanılarak geliştirilebileceğini düşündüm. Pentomino taşları birbirinden farklı olduğundan tek takım kullanınca bir dengesizlik oluyor, oysa iki takımla oynanınca eşitlik sağlanıyor. Her iki takımın taşları da 11×11 karelik tahtaya tam olarak yerleştirilirse yalnızca tek bir  kare arta kalıyor. Böyle bir oyun takımıyla oynanınca oyun biraz daha değişik ve keyifli oluyor.

Çok sayıdaki yaratıcı pentomino konularının hepsine burada değinmek olanaksız. Onun için bu tanıtma yazısı burada bitiyor. Bu ilk başlangıçtan sonrasını bulmak artık size kalıyor.

Pentominolardan sonra

Eğer pentominoları sevdiyseniz ona benzer öteki bulmaca ve oyunlar da ilginizi çekebilir. Beşten çok karenin birleşmesinden ortaya çıkan şekiller ve bunlarla kurulan bulmacalar, üçgen, altıgen gibi düzgün, dik açılı ikizkenar üçgen, paralelkenar gibi düzgün olmayan, ya da birden çok farklı şekli birlikte kullanan düzenlemeler bunların arasında. Bunlara ister matematiksel açıdan yaklaşın, ister biçimsel açıdan, aralarından size keyif verenler çıkacaktır.

Bir de üç boyutlu benzer düzenlemeler var. Küp, üçgen piramit gibi düzgün yüzlü üç boyutlu geometrik şekillerden oluşan pek çok çeşit. En ünlülerinden biri Danimarkalı bir düşünür ve sanatçı olan Piet Hein tarafından bulunmuş SOMA küpleri. Üç boyutlu pentominolar ve benzerleri de ayrı bir kategori oluşturuyor. Bunlarla da hem matematiksel olarak hem biçimsel olarak ilgilenmek, bulmaca ve oyunlar kurmak, ilginç şekiller yaratmak olası. Bunların hepsi için İnternet siteleri var.


Leave a Reply